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集合と位相

定義

集合・写像

集合、要素
部分集合
和集合
共通部分
差集合
直和
補集合
直積

写像
像、逆像
全射、単射
全単射、1対1
包含写像
恒等写像
逆写像

集合系
上極限、下極限

濃度

濃度が等しい⇔全単射が存在(これは同値関係)
特性関数
有限集合:要素が有限
可算集合:\( N\)と濃度が等しい集合
対角線論法

関係

R:X上の二項関係⇔\( R \subset X\times X \)
同値関係:反射律、推移律、対象律をみたす関係
順序関係:反射律、推移律、反対象律をみたす関係
前順序:反射律、推移律
半順序:反射律、推移律、反対称律
全順序:反射律、推移律、反対称律、全順序律

同値類
商集合
代表元
自然な射影
付随する同値関係

順序保存写像
順序同型:全単射で、f,f-1がともに順序を保つ

下界、上界
最小元min、最大元max
下限inf、上限sup

束(そく):すべての二元集合が上限と下限を持つ。
完備束:空でない集合が上限と下限を持つ。

整列集合:半順序集合で、空でない部分集合が常に最小元を持つ
aによる切片 \( X<a> = \{x \in X | x < a\} \)

直積\( \Pi_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \)
選択公理:\(\forall A_\lambda \neq \phi \)ならばその直積も空でない
ツォルンの補題:帰納的半順序集合(すべての全順序部分集合が上界をもつ)は少なくとも一つの極大元を持つ
整列可能定理:任意の集合は順序を入れて整列集合にできる

距離空間

ユークリッド距離 \( d(x,y) = \sqrt{(x_1-y_1)^2+ \cdots + (x_n-y_n)^2} \)
n次元ユークリッド空間 \( R^n , d^{(n)}\)

\(d:X\times X \to R \)距離関数⇔
(D1) \(d(x,y) \geq 0\)で、\(d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y \)
(D2) \(d(x,y) = d(y,x) \)
(D3) \(d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z) \) 三角不等式

位相空間

位相的性質

分離公理
コンパクト
連結
完備性

定理

集合・写像

ド・モルガン

濃度

対角線論法
(Cantor):Aの冪集合からAへの単射はない
(ベルンシュタイン):AとBの双方向に単射があれば濃度が等しい

(整列集合の比較定理):(X,≦)、(Y,≦)が整列集合の時
XとYは順序同型、一方が一方の切片と順序同型 のいずれかが成り立つ
(超限帰納法):A整列集合のとき、P(minA)が真、A<a>についてP真⇒P(a)真
ならば、任意のAの元についてP真

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